0个完全数——比古人多出7倍以上——但他们还必须找出尾数为6和8的模式。

    古人还观察到，第一个完全数有一位数字，第二位完全数有2位数字，第三个有3位数，第四个有4位数。所以他们推测，第五个完全数会有5位数。在欧几里得故去17个世纪后发现了第五个完全数，它赫然具有8位数：33，550，336。并且位数继续迅速增多，以下3个完全数分别为8，589，869，056；137，438，691，328；和2，305，843，008，139，952，128。

    欧几里得证明了一旦2n-1是素数，那么2n-1（2n-1）就会得出一个完全数，但他并没有说n的哪一个整数值会使2n-1成为素数。由于使2n-1为素数的前4个n值为前4个素数（2，3，5，7），可能有人推测：如n为素数，2n-1也会是素数。那么，让我们来试试看第五个素数：11。如n=11，2n-1则为2，047，而2，047并非素数（它是23和89的积）。真实情况是：要使2n-1为素数，n必须是素数，而n为素数并不就意味着2n-1是素数。事实上，对于n的大多数素数值来说，2n-1并不是素数。

    由2n-1一式得出的数列现在称作默塞纳数列，马林·默塞纳是17世纪的巴黎僧侣，他在尽僧职之余抽空进行数论的研究。根据欧几里得的公式，每发现一个新的默塞纳素数，就会自动出现一个完全数。 1644年，默塞纳自己说，213-1，217-1和219-1这3个默塞纳数是素数（8，191；131，071和524，287）。这位僧侣还声称267-1这个巨大的默塞纳数会是位素数。在250多年的时间里，没有人对这一大胆的声言提出疑问。

    1903年，在美国数学协会的一次会议上，哥伦比亚大学教授弗兰克·纳尔逊·科尔提交了一篇慎重的论文，题为：论大数的分解因子。数学史家埃里克·坦普·贝尔记下这一时刻所发生的事：“一向沉默寡言的科尔走上台去，不言不语地开始在黑板上计算267。然后小心地减去1，得出21位的庞大数字：

    147，573，952，589，676，412，927。

    他仍一语不发地移到黑板上的空白处，一步步做起了乘法运算：

    193，707，721×761，838，257，287

    两次计算结果相同。默塞纳的猜想——假如确曾如此的话——就此消失在数学神话的废物堆里了。据记载，这是第一次也是惟一的一次，美国数学协会的一位听众在宣读论文之前向其作者热烈欢呼。科尔一声不吱在他座位上坐下。没人向他提任何问题。”

    在欧几里得证明他的公式总是得出偶数完全数的大约2，000年之后，18世纪的瑞士数学家伦纳德·尤勒证明，该公式将得出全部的偶数完全数。这样，我们就可以用另一种方式提出奇数完全数问题：是否存在不是由欧几里得公式得出的完全数呢？

    为弄清最近取得的进展，年轻的米歇尔·弗里德曼埋头翻阅过期杂志：《计算数学》、《数论杂志》、《数学学报》及一堆决不会在咖啡桌上看到的其他期刊。他甚至参阅理查德·盖伊的艰深的经典著作《数论中的未决问题》，该书不仅讨论完全数，而且还探讨十几个其他神秘专题：“近超完全数”、“友谊图表”、“优雅图”、“贪婪规则系统”、“纽环游戏”、“达文波特-施尼茨尔系列”、“半友善数”、“友善数”和“不可接触数”。

    米歇尔知道，困于这一棘手问题的数论学家们验明：如果真有奇数完全数存在的话，所必须具备的各类特征有：它必须被至少8个不同的素数整除，其中最大的一定要大于300，000，次大的也要大于1