着的那个数目的关系来代替Ｒ。如果我们现在看一看关于这一个数目的０的后代，显然１是属于这个后代，因为１＝０＋１；而且，因为１属于０的后代，２也是如此；而且，因为２是如此，３也就是如此。这样下去，我们就得到一整套都属于０的后代的数目。我们可以把用所谓“数学归纳法”的证明应用于所有这些数目。数学归纳法是这样一个原理：如果一个性质属于０，并且属于有这个性质的任何数目下面紧接着的那个数目，那么，这个性质就属于所有的有限数。把“有限”数说明为０的后代，这是这个定义的直接结果。从前大家以为数学归纳法是一个原理，因为从前以为一切数目一定是有限的。这是一个错误。数学归纳法不是一个原理，而是一个定义。对于有些数目来说它是正确的，对于另一些数目来说它是不正确的。凡它能适用的数目就是有限数。举例来说，把１加到一个有限数上，这个有限数就增加了；一个无限数就不是这样。

    整个这个祖先关系学说不但对于数目说来是十分重要的。因为这个理由，我们在提出数的定义来以前就创立了这个学说。

    现在我来讲一个东西，我名之为“关系算术”，这占了《数学原理》第二卷的后半本的篇幅。从数学的观点来看，这是我对于这部书最重要的贡献。我所说的“关系数”

    是一种完全新的数，普通数是这种数的一种极其特殊化的例子。我发现，一切能用于普通序数的那些形式定律都能用于这一种一般得多的数。我也发现，关系数对于了解结构是很要紧的。

    有些辞（“结构”就是其中的一个），正如“等等”或者“系列”，虽然为人用得惯熟，却无确切的意义。借关系算术，“结构”这个概念就可以精确地加以界说。

    这一个问题里的基本定义是前面已经提到过的“次序的类似”或“相似”的定义。

    凡和关系有关的地方，这种东西所起的作用正和类似在类与类之间所起的作用是一样的。

    类与类之间的类似就是一个一对一的关系的存在，把一类的每一项和另一类中的相关者连结到一起。Ｐ和Ｑ两种关系之间的次序的类似就是指，有Ｐ领域对Ｑ领域的那么一个相互关系产生者，凡是两项有Ｐ关系，它们的相关者就有Ｑ关系，反之亦然。让我们举一个例证：假定Ｐ是已婚的政府官员的位次关系，Ｑ是他们的妻子的位次关系，妻和丈夫的关系就使Ｐ领域和Ｑ领域有这样的相互关系：只要是这些妻们有Ｑ关系，他们的丈夫就有Ｐ关系，反之亦然。当Ｐ和Ｑ两种关系在次序上是类似的时候，如果Ｓ是产生相互关系作用的那个关系，Ｑ就是Ｓ和Ｐ的关系产物，而且是Ｓ的倒转。例如，在上面所举的那个例证中，如果ｘ和ｙ是两个妻，并且ｘ对ｙ有Ｑ关系，而且，如果Ｓ是妻对丈夫的关系，那么，ｘ就是对ｙ的丈夫有Ｐ关系那样一个男人的妻，那就是说，Ｑ和Ｓ与Ｐ的关系产物是同一关系，并且是Ｓ的倒转；Ｓ的倒转就是丈夫对妻的关系。凡Ｐ和Ｑ是系列关系的时候，它们的相似在于它们的各项可以发生相互关系而不变换次序。但是相似这个概念可以用于一切有领域的关系，也就是，可以用于一切关系，在这种关系中，范围和倒转范围是一种类型。

    我们现在说，一个Ｐ关系的关系数就是那些在次序上和Ｐ相类似的关系的类。这正有类于用次序的类似代替类的类似，用关系代替类的基数算术。加法、乘法和指数的定义有点儿类乎基数算术里的定义。加法和乘法都遵循结合定律。分配定律在一种形式中是适用的，但是，普通说来，在另一种形式中是不适用的。除了有关的关系的领域是有限的，交互定律是不适用的。举例来说，今有象自然数的系列的一个系列，在这个系列上加上两项。如果你把这两项加在开头的地方，这个新的系列就象是那个旧的系列；可是，如果你把这两项