第八章 《数学原理》：数学方面
加在末尾，这个新的系列就不同了。无论什么时候，如果ｘ对ｙ有Ｐ关系，或ｘ对ｙ有Ｑ关系，或ｘ属于Ｐ的领域，ｙ属于Ｑ的领域，那么，Ｐ和Ｑ两种关系之和就可以说是能适用于ｘ与ｙ之间的一种关系。根据这一个定义，一般说来，Ｐ与Ｑ之和跟Ｑ与Ｐ之和不同。不仅一般的关系数是如此，而且序数也是如此，如果其中之一或二者是无限的。
序数是关系数的次一级的类，也就是能适用于“次序整然的”系列，“次序整然的”
系列其性质是：其中任何有若干项的次一级的类有一个第一项。坎特曾研究过超限序数，但是，据我所知，一般的关系数是在《数学原理》中第一次加以界说和研究的。
一两个例证也许对于我们有帮助。假定你有若干对成一其个系列，你想按照上面解释选择公理的意思从这些对里形成一系列的选择。这个程序和基数算术里的程序十分近似，只是有一点不同，就是，我们现在是想把这些选择排成一个次序，而以前我们只是把它们算做一个类。此外又假定，正如我们讨论类的选择的时候那样，我们有三个组，（ｘ１，ｘ２，ｘ３）、（ｙ１，ｙ２，ｙ３）和（ｚ１，ｚ２，ｚ３），我们想从这些里边弄出一个选择的系列来。这有种种办法。也许最简单的办法是这样：任何包含ｘ１的选择出现在任何不包含的选择之先。在二者都包含ｘ１或都不包含ｘ１的那些选择之中，那些包含ｙ１的选择出现在不包含ｙ１的选择之先。在二者都包含或都不包含ｘ１和ｙ１的那些选择之中，那些包含ｚ１的选择出现在那些不包含ｚ１的选择之先。我们为尾数２和尾数３立下类似的规则。这样我们就得到所有可能有的选择，排成一个系列，这个系列的开头是（ｘ１，ｙ１，ｚ１），最后是（ｘ３，ｙ３，ｚ３）。显然这个系列是有二十七项，但是这里二十七这些数目已经不是象我们从前那个例子里的那样一个基数，而是一个序数了，也就是说，是特别一种关系数。由于在那些选择之中建立了一个次序，它和一个基数是有区别的，一个基数并不建立一个次序。只要我们只限于有限数，在序数与基数之间是没有重要的形式上的分别的；但是，有了无限数的时候，由于交互定律不起作用，其间的分别就变得重要了。
在证明关系算术的形式定律的时候，我们常常有机会讨论系列的系列的系列。用下面这个实例，你在心中就可以得到一个具体形像：假定你要把一些砖堆积起来，而且，为的是把这件事说得更有趣，假定这是些金砖，你是在诺克司堡工作。我现在假定你先弄成一行砖，把每一块砖放在前一块的正东；你然后再弄一行，和第一行接触，但是是在第一行的正北；这样下去，你弄了许多行，到适当的程度而止。然后你在第一层的上面弄第二层，在第二层的上面弄第三层，这样下去，直到所有的砖都堆完为止。那么每一行就是一个系列，每一层是一个系列的系列，这一整堆是一个系列的系列的系列。我们可以用符号把这个过程代表如下：假定Ｐ是上层对下层的关系；Ｐ的领域是由各层而成；每一层是一系列的行。假定Ｑ１是最高一层各行南对北的关系，Ｑ２是第二层各行的这种关系，其余类推。Ｑ的领域是一系列的行。在最高一层最南边的一行中，东对西的关系，我们称之为Ｒ１１；在最高一层的第二行中，东对西的关系，我们称之为Ｒ１２；其余类推，最后是Ｒｍｍ，假定ｍ是层的数目，ｎ是每一层中行的数目。在这一个实例中，我是假定层数和行数是有限的，但是这是一个完全不必要的限制，有这一个限制只是为把这个实例弄得简单一点。在普通的语言里，所有这些都颇为复杂而冗长，但是用其符号来就变得简易了。假定E是ｘ对Ｐ的关系（这个关系就是ｘ是Ｐ的领域的一项）。那么，F３就是F和F和F的关系产物。举例来说，单个的砖是对Ｐ有F３关系的一些项，那