1882年，得克萨斯州议员诺加·米尔斯对数学进行了谴责，他的发言是人类最诚恳的演说之一。他说：“我认为数学是一门神圣的科学，它是启迪神灵的惟一科学，所说的都是正确的。我所受到的教育一直是：数学展示了真理，也知道在天文学、哲学、几何学和所有其他学科中，总有些问题需要推测，而数学如同《启示录》的声音一样，它开口时总是说：‘上帝是这样说的。’但是，这里有个新的数学体系表明，真理就是谬误。”

    米尔斯所说的问题是共和国成立以来众议院一直面临的问题：每个州应该分配多少个代表？国会代表按比例分配的数学听起来像是采用简单的、人们拥护的一人一票的方法。但是，像直接选举方案一样，间接代表制却受着数学上悖论的严重困扰，从而遭到米尔斯议员的强烈抨击。直接选举方案的悖论是策略运筹学性质的，它牵涉到选举人合谋选举他们自己的候选人。国会代表分配的问题，只是每个州分配到的代表人数，而不是怎样选代表的问题。按比例分配属于应用数学领域，叫做社会选择理论。

    为什么按比例分配是这样一个问题呢？美国宪法第一条第二款似乎提供了一个直接的答案：每个州派往众议院的代表人数应与本州人口成比例。问题是，虽然一个国会议员的忠心可分，而他的躯体却不可分；人就像便士或电荷或亚原子自旋状况一样，是量子化的。

    假定你要在只有两个州的国家成立一个众议院：X州有人口11， Y州有人口23。每个州按其人口选派代表，最小的众议院会是怎样的呢？最小的众议院会有34个成员，如果成员少一些，则其中一个州（或两个州）会出现一个分数代表。换句话说，当h（众议院的人数）少于34人，X和Y就没有整数（分别为X州和Y州的代表人数）能符合等式X＋Y＝h和X／Y＝11／23。为人口34而成立的一个34个成员的众议院，当然不是确切的间接代表制。

    像我们有50个州这样大的国家，这些州的人口数量相互之间又没整倍数，问题就明显地复杂了。在一个特定规模的众议院，每个州的理想代表人数是按该州人口与总人口的比率乘众议院总成员数得出的。（因此，如果众议院有235个席位，在一个人口为231，575，493的国家里，人口为2，559，253的州有资格成为代表的理想数字为2．597099个：2，559，253／231，575，493×235。）既然这个理想数字可能是个分数，并且不允许代表出现四分之一这种数，那就需要有个更好的分配代表的方法了。

    许多开国元勋，包括亚力山大·汉密尔顿、托马斯·杰佛逊和丹尼尔·韦伯斯特，曾提出他们各自的解决方法。财政部长汉密尔顿的方法最容易理解，他的方法于1792年经国会通过但紧接着被乔治·华盛顿否决——华盛顿在任8年中只行使过两次否决权，这是其中的第一次。按照汉密尔顿的方法，开始时先给每个州一个代表数，与其理想的代表的整数部分相等，舍弃其分数部分。换言之，如果佛蒙特州理想的代表人数为3．62，它就有3个代表。在这个基础分配的代表人数上计算出代表总数，如果总数没有达到众议院要求的人数，就取那些舍弃了的最大分数值的州的代表，进众议院。

    汉密尔顿的按比例分配方法很容易说明。下表显示5个州的人口和在一个有26个席位的众议院中，每个州所能获得的代表人数。

    用汉密尔顿的方法，在一个26席位的众议院，A、B、C、D和E开始时分别获得以下代表数：9、7、5、3和1，但只占26个席位中的25个席位，D州有最高分数（0.319），因而它可增加一个代表，共4个代表。

    汉密尔顿的方法至少符合一个平等的原则：它给每一个州能够就近上下浮