的朋友，罗纳德喜欢麦克唐纳胜过伯格王，而伯格王又胜过温迪。已知这些优先选择，要他喜爱温迪胜过麦克唐纳，对他说来是不合理的。然而，这些却恰恰是我们的朋友作为整体时的优先选择！在集体表决中，他们宁愿去麦克唐纳而不去伯格王，宁愿去伯格王而不去温迪，宁愿去温迪而不去麦克唐纳。所以，从数学的观点来看民主是不是有内在的不合理呢？

    罗纳德的优先选择：

    麦克唐纳→伯格王→温迪

    因此：麦克唐纳→温迪

    集体的优先选择：

    在民主表决中的数学悖论已由世界上一位大对策学家史蒂文·布拉姆斯进行了广泛研究。他不仅把数学用于涉及表决方面的各种问题，还用于各种各样看来难以进行定量分析的问题。在他的《总统选举的对策》一书中，布拉姆斯使用对策论分析了理查德·尼克松总统的行为和最高法院关于那件迫使总统交出有罪的“白宫录音带”的案例。他在《圣经的对策》一书中把对策论用于分析旧约全书中上帝和人类的矛盾，并得出结论：上帝是个出色的策略家，一位敏感的、沉思的，又为他在世上的声誉所困扰的武断的神。在《高傲的神：如果他们存在，我们怎能知道？》一书中，他探讨了无所不知、无限权力、不朽的生命和不能理解性的对策论含义。布拉姆斯还将对策论应用于实际之中，从超级大国的矛盾和职业运动员的选拔到劳工管理谈判以及电视演播计划等种种主题。

    布拉姆斯对应用数学感兴趣还得追溯到他在麻省理工学院当大学生时，那时苏联刚刚发射了人造地球卫星。他曾有志于主修物理学，但他发现他在实验室里是一个十足笨头笨脑的人，从而打消了这个念头。那些损坏的设备，使他清醒了，他转而攻读数学，并在数学领域一直遥遥领先。他还选修比较新的政治科学系中大名鼎鼎的教授的课程。在那里他发现了他的专长：把数学应用于政治形势上。他的第一批成果主要涉及对国标贸易流通进行数学模拟的统计工作。离开麻省理工学院，他又到西北大学当研究生。因为他在政治科学方面有一种标新立异、特别的定量分析课程。

    布拉姆斯说道：“像每一位有自尊心的政治科学家一样，我考虑应在政府中从事某些工作，但不愿意在和平队里干活。”在1963年和1964年夏季里，他先在国家卫生研究所任所长，而后又到国防部部长办公厅任职。当他完成研究生学业时，他已把整个身心投入国防分析研究所的工作，那是一家非盈利的研究机构。主要是为联席参谋长和国防部长办公室工作。布拉姆斯回忆道：“我被特别雇用从事如何在国防部进行决策的研究。在6个月内，我设计并预先试验了一种调查表。我将要进入战地并会见一些高层人物——副部长、将军、舰队司令——可是国防分析研究所所长停止了这些研究工作。这时越南战争升级，热化，而所长认为这项研究太成问题，特别是由于国防部是国防分析研究所的主要委托人。我感到非常恼怒，并且断定能够自由和独立地做我想做的事的惟一地方是大学。”

    他开始在罗彻斯特大学教学，校内拥有国内最有效地进行定量分析的政治科学系。曾经分析1956年众议院关于学校建设问题投票的赖克当时正在罗彻斯特大学，于是布拉姆斯从他那里获益匪浅，对对策论产生了强烈的爱好。而且，布拉姆斯补充道：“从那时起，我从未离开过这个主题。”

    对策论的评论家们不时指责它是一门诡诈科学，为赞成政治掮客的狡猾策略而打上了数学的印记。然而对策论不会产生表决的悖论，它只不过用形式的方法来认可它们而已。1956年众议院就学校建设议案所做的悖论表决是自然产生的，而不是由于国会众议员们从马基雅维里式的某些对策论杂志中获得的提示得来的。

    一旦悖论被正式认