，已达到相当高的水平。这种平面的两维空间是毕达哥拉斯首先加以描述的。

    在这大量丰富的图案中，我就从最简单明了的一种图案开始吧。这种图案的花纹是一种两瓣叶片的重复，其中呈水平方向的是深色叶片，而呈垂直方向的是浅色叶片。这样，平行移动（即平行地改变图形的位置）和朝水平方向或垂直方向作反射移动，都会形成明显的对称关系。但是，请注意，更为微妙的一点是，阿拉伯人喜欢设计那种深色花纹和浅色花纹完全相同的图案。于是，如果你一时忽略了色彩的异同，便会看出，当你把深色叶片转动90度后，就转到了相邻的浅色叶片的位置上。然后，再次转动，又转到了另一个叶片的位置上，最后回到原先的位置。不过，在转动叶片时，你必须始终围绕同一个交合点旋转。这样你可以准确地围绕整个图案转动；不管离旋转的中心有多远，图案中的每个叶片都会转到相邻叶片的位置上。

    沿水平线的反射是这种有色图案的双重对称，沿垂直线的反射也是如此。而当我们将颜色置于不顾时，我们就可以看到一种四重对称，它是由作四次90度的转动而形成的，我已经用这种方法证明了毕达哥拉斯定理；因此，对称的无色图案，就成了毕达哥拉斯式的正方形。

    现在我再谈谈一种复杂得多的图案。这些好似被凤吹得卷起来的四种颜色的三角形，仅仅表现了一种非常明显的在两个方向上的对称关系。你可以垂直地或朝水平方向将这个图案移动到新的、完全相同的位置。图案中的花纹好像被风吹得卷起来似的这一点并非与本题无关。人们很难找到一种不可以反射的对称体系。然而，这个图案的花纹却是不可以反射的，因为所有这些被风吹得呈卷状的三角形都是向右转动的，如果不让它们朝左边转动，它们便不能反射。

    现在，假设你不管这些三角形有绿、黄、黑、蓝色之别，把它们看成只有深、浅两色之分。那么，你就可以看到这里也有一种旋转的对称。再把你的注意力集中到交会点上，你就会看到六个三角形在这里相交，而它们的颜色则交替为深浅两色。一个深色三角形可以转动到下一个深色三角形的位置上，再转到下一个的位置，最后回到它原先的位置——这是一种使整个图素旋转的三重对称。

    可能形成的对称还不仅限于此。如果完全不考虑颜色的差异，那么旋转角度稍小一些，你就可以使一个深色三角形移到它旁边的浅色三角形的位置上，因为这个浅色三角形与它的形状完全相同。照这样转下去，依次转到深色、浅色、深色、浅色，最后转回到原来的深色三角形的位置——这就成了一种使整个图案转动的空间的六重对称。实际上，我们大家都很熟悉这种六重对称，因为这就是雪的晶体的那种对称形式。

    谈到这里，那些并非数学家的人们有理由发问：“怎么？这就是数学研究的东西吗？从前阿拉伯的教授，或者现代的数学家们就这样在这种不及大雅的游戏上耗费时日吗？”对这个问题出人意料的回答是——不，这不是一种游戏。它使我们直接面对某种我们易于忘怀的东西，即，我们生活在一种特殊的空间——三维的平坦空间——而且，这种空间的种种特性是无法突破的。在探究怎样才能使一个图案转回到自己原来的位置上时，我们就正在发现那支配我们的空间的无形法则。不仅在人为制作的图案中，而且在大自然所强加于基本的原子结构的种种规律法则中，只有特定的几种对称关系是我们的空间所能提供的。

    包含着这类空间的自然形态的结构似乎是那些结晶体。而且，当你观察一个人手未曾触及的晶体——如冰洲石——时，你会十分惊奇地发现，冰洲石的表面为什么会是规整的，这一点并不是无须证明的。这些表面为什么会是平坦的平面，这一点也决非不言自明。晶体就是如此；人们已习惯于它们的规整和对