小学一年级时用过的语文课本曾令我惊奇不已。课本的封面上有一男一女两个小学生坐在一起看着一本书，而这本书正是我们使用的语文课本，他们看的书上也有两个稍小一点的小学生同样也是在看语文课本。如果画家继续画下去，那就会形成层层的倒退。

    这样的情形我也在理发店里见过，在顾客的前面有一面大镜子，而后面的墙上也有同样的一面镜子，往任何镜子里看去，人们都会看到无穷的镜子和镜子前的顾客。如果读者感兴趣，不妨也做一个这样的实验：把一根蜡烛放在两面相向的镜子中间，从镜子里你可以看到无穷层次的蜡烛。

    数学家奥古斯塔斯•德摩根曾改写了乔纳•斯威夫特的一首诗，生动地描绘了这种无穷的倒退：

    大跳蚤有小跳蚤在它们的背上咬，小跳蚤又有小跳蚤，如此下去没完没了。

    大跳蚤倒了个儿——变小，上面还有大跳蚤，一个上面有一个，总也找不到谁的辈数老。

    罗素也曾设想了一个与此相似的类型论来消除悖论。按照罗素的看法，悖论是由于非直谓定义造成的恶性循环引起的。所谓“恶性循环”就是自我指称性或自返性。通俗地讲就是自己说自己。而“非直谓定义”是指这样的定义：它借助于一个整体来定义一个对象，而这个对象又属于这一整体。也就是说，假设我们要给一对象A下定义，这时要借助于B，而B是一类对象的整体，A是B的一部分。例如，在格雷林悖论中曾给“非自状的”下这样的定义：一个形容词，如果它不具有自身所代表的性质就称为“非自状的”。这一定义就是非直谓定义。因为“非自状的”要借助于“不具有自身所代表的性质”来定义，“不具有自身所代表的性质”描述的是这类对象的整体。但是，“非自状的”却恰恰是这一整体中的一员，这样，就造成自己指称自己、自己描述自己的恶性循环。同样，在罗素悖论中，“不以自身为元素的集合的集合”要借助于“不以自身为元素的集合”的全体来定义，但是，这一集合本身也是全体的一分子。又如，所有集合也可以构成一集合（大全集），但此大全集本身也是一个集合，当然又属于“所有集合”，这样就形成“所有集合”“大全集”“所有集合”的恶性循环。罗素把这种造成自己指称自己、自己描述自己的整体称为“不合法的总体”。为了避免“不合法的总体”，罗素提出了“恶性循环原则”，确切点说应该是“避免恶性循环原则”：凡牵涉到一个汇集的全体者，它本身不能是该汇集的一个分子；或者，反过来说，如果假定某一汇集有一个总体，它便将含有一些只能用这个总体来定义的分子，那么，这个汇集就没有整体。换句话说，一类对象可以汇集成为一个总体，人们可以利用这总体给某一具体对象下定义，但这一具体的对象不能是这一全体的成员；反之，假如某类对象可以汇集成为一个总体，但其中却发现有这样的对象，它们必须用这一总体来定义，那么，此总体就不成其为真正的总体。有了这一原则，对任何具体的对象下定义时，就不会借助于包含这一对象的总体，从而也就不会造成自己说自己的恶性循环。在此原则的基础上，罗素提出了类型论。

    这种理论用简单的例子来说并不深奥。例如，“张三是高个子”是个有意义的命题，显然，如果我们用“李四”、“王五”、“赵六”等等来代替命题中的“张三”一词，它仍然具有意义。但是，如果我们用“班级”、“小组”、“人类”等代替“张三”时，这个命题就变得毫无意义了。这是因为，“李四”、“王五”等是与“张三”属于同一级别的具体事物，而“班级”、“小组”等则是由这些具体事物作为元素构成的集合。由此可以看出，在这里，命题的意义取决于对个别事物和个别事物的集合两个层次的区分，这就是类型论的思想。