部分）之间可以建立一一对立关系：

    l，2，3，4，……

    l，4，9，16，……

    因此，整体（自然数集）和部分（平方数集）在数量上是相等的。但由于人们总认为“整体大于部分”，殊不知，这只能适用于有穷量，而不能适用于无穷量，因此造成悖论。显然这也是由于主观认识上的错误造成的。那么，“贝克莱悖论”又是怎么造成的呢？无穷小量在本质上是辩证的，它是零与非零的统一，也就是说它既是零又是非零。所谓“无穷小量是零”是指它的运动变化的终点是零，而所谓“无穷小量是非零”是指它趋向于零。由于数学是以形式逻辑为基础的，它就要遵循不矛盾律，要求对象具有明确性和一义性，也就是说必须明确无穷小量究竟是零还是非零（不能断言既是零又是非零）。而在实际应用中是这样解决的：人们先假设无穷小量不等于零，然后再规定它为零，这种方法实质上是通过把对立环节割裂开进行把握。但对立双方仍然存在于无穷小量本身，当它们被重新联结在一起时，悖论就不可避免地出现了。因此，“无穷小量具有一义性”这种错误的认识是造成“贝克莱悖论”的原因。

    这种由于主观认识上错误而造成的悖论，其特点就是在它们的构造过程中包含有某个或某些具有直接错误的前提，既如此，悖论就是一种应当避免，而且也能被彻底排除的主观错误。

    “矛盾即假”，客观世界是不存在矛盾的，矛盾只在人的主观认识中，这是人们的普遍观念，数学和逻辑是严格性和真理性的典范，因此当其中出现悖论时人们自然会想到：一定是我们主观上出什么差错了。找出悖论中错误的前提，并加以改正，悖论就能得以避免。无理数理论的建立使人们否定了“一切事物和现象都可归结为整数或整数之比”的错误信条，“希帕索斯悖论”得以克服；以实数理论为基础的极限理论的产生则否定了“无穷小量要么是零要么是非零”的错误观念，使“贝克莱悖论”不再出现。

    而罗素悖论却不同，它使用了集合论的最基本概念：集合、属于、元素。根据人们古老的信念，既然出现了悖论，那只能说明集合论的基本前提是错误的。但人们在这些前提中却没有发现以往任何明显不正确之处，这样，在对此悖论的解决中也就出现了种种不同的方法。而且，在解决罗素悖论的种种努力中，人们又进一步暴露出在许多最基本的数学概念上的严重分歧，如到底什么是集合，有没有实无穷等等，这些分歧又增加了人们关于数学不可靠性的感觉，从而也就更增强了“危机”的气氛。一向是平和宁静、人人“安居乐业”的数学王国顿时众心浮动，群情沮丧。正如数学家克莱因所说：“作为逻辑结构的数学已处于一种悲哀的境地——数学家们以向往的心情回顾这些矛盾被认识以前的美好时光。”

    但是在悖论面前，人们对所处的境况是不能长期忍受下去的，因为如希尔伯特所指出的，数学是可靠性和真理性的典范，在这里，如果每个人所学的、教的和应用的那些概念和推理方法导致了不合理的结果，那么数学思考就会失灵，人们又能到哪里去寻找可靠性和真理性呢？因此在惊愕和沮丧之余，数学家们和哲学家们并没有沉沦，而是采取种种措施去排除悖论这个怪物，从而为数学大厦建立更稳固的基础。

    要解除悖论，就要搞清悖论是如何形成的，以罗素悖论为例，它的构造过程如下：

    （1）构成集合S＝｛A｜A不属于A｝，也就是“不以自身为元素的集合的集合”；

    （2）考虑“S是否属于S”；

    （3）由排中律，这时必然有S属于S或S不属于S，但无论S属于S，还是S不属于S，总会得出矛盾，因此，矛盾不可避免。

    以上述事实进行分析可以看出，这里事实