打开的缺口，在一条宽广的战线上展开。与上述两者不同，本书所论时期的数学却进入了一个全新天地，远远超出了仍然支配着算术和平面几何的希腊世界，以及支配着解析几何的17 世纪世界。复变数理论（高斯［Gauss］、柯西［ Cauchy〕、阿贝尔、雅可比〔Jacobi〕）、群论（柯西、伽罗瓦〔Galois〕）或向量理论（汉密尔顿）为科学带来的革新，除获得数学家的高度评价之外，很少人能领略其奥妙。通过这场革命，俄国的洛巴切夫斯基和匈牙利的鲍耶（1831年），竟推翻了人们信奉最久的理论——欧几里德几何。欧几里德逻辑那种气势恢宏而且不可动摇的结构，是建立在某些假定之上，其中之一是平行线水不相交定理，而这项定理既非不言自明，又不是可验证的。在另外一些假定之上建立同样的几何逻辑，在今天看来可能是很简单的。例如（洛巴切夫斯基、鲍耶）与任一线L平行的线无限延长可以通过P点。或者（黎曼［Riemann〕）任何与L线平行的线都不经过P点。由于我们已能建造出适用这些规则的真实平面，情况就更是如此了（因此，地球就其是个球体而言，是与黎曼的而不是欧几里德的假定相符）。然而，在19世纪早期做出这类假定，却是一桩堪与以日心说取代地心说相比的大胆思想行为。