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    ……

    编号N　0.an1an2an3an4…

    然后，我们根据以下规则构成一个新数d＝0.b1b2bn：

    当ann=1时，bn＝0，而ann≠1时，bn=1。

    显然，d不同于上表中的任何数，因为bn≠amn，即至少一位是不相同的。

    但由于d是[0，1]区间中的实数，依据假设，d又必须等同于表上的某一个数，矛盾！故原来的假设不能成立。

    通过分析可以看出，这一论证的关键是构造出一个不属于已知集合（这里是［0，1］区间中所有实数组成的集）的新元素。由于这一构造是通过对角线位置上的数的变动来实现的，因此，这种方法被称为“对角线方法”。对角线方法既然是构造新元素的方法，所以，它肯定的就是集合的无限扩张的可能性，即过程性（这里就是可不断形成新的数）。这种对过程性的确认在一般情况下是没有问题的。但是，如果我们同时又假设了集合的绝对完成性（这里就是设定所列表中的数为所有实数的总体）。对角线方法的应用就会导致直接的矛盾。因为这时所构造出来的就将是一个具有两重性的元素：它既属于又不属于原来的集合，从而构成悖论。

    对此，数学家亨金曾作过形象的比喻。他指出，在康托尔的集合论中为什么会出现悖论呢？这是因为其中既包含了“不可抵挡的矛”（指幂集的扩展是无限制的，没有条件的），又有一个“能抵挡一切的盾”（指其中包含一切集合的集合，即大全集），因此，就像我国古代关于矛和盾的故事一样，在康托尔的集合理论中，矛盾是不可避免的。

    可见，集合论悖论的根源在于集合的对立统一在认识过程中遭到歪曲，而数学的形式逻辑思维特点是造成悖论的重要原因。因为数学在形式逻辑范围内活动，它要求对象的明确性，因此，当集合的辩证性不可能直接在数学理论中得到反映，而只能片面地强调集合的完成性，或者片面强调集合的过程性，而当二者机械地联结在一起时，在形式逻辑的思维看来就是导致了悖论。

    与集合一样，语言本身也是辩证的：作为客观世界的表述，语言既是已经完成了的（例如，语言中的每一概念在历史发展的各个时期都有确定的含义和范围），同时又处于无限的发展之中（例如，概念的含义和范围随着历史的发展而不断变化）。由于考虑的角度不同，人们可能分别强调对立中的某一环节。但如果把二者绝对地割裂开来并片面夸大，然后把它们机械地联结起来，就会形成悖论。

    例如，在格雷林悖论中，首先强调了语言在某一方面的完成性，因为这样才能对形容词的总体进行分析，并按照是否具有本身所代表的性质进行分类；但同时它也肯定了语言的无限发展性，即构成了新形容词“自状的”和“非自状的”。这两种考虑在一定意义上都是合理的，但形式逻辑的思维把二者割裂开，当把它们绝对对立并机械地联系起来时，悖论就出现了。

    由上可知，形式逻辑思维的局限是造成悖论的重要基础，因而，悖论是形式逻辑本身所无法解决的。下面的事例很能说明这一问题。

    1947年，正在哈佛大学学习的威廉•伯克哈特和西奥多•卡林制造了世界上第一台用于解决逻辑问题的计算机。他们让这台计算机检验语句的正误。当他们给计算机输入了说谎者悖论“这句话是错的”时，这台可怜的计算机立即发起狂来，不断地打出对、错、对、错的结果，陷入无休止的反复中。戈登•狄克森的《猴子扭伤》也曾讲到这样一件事：某些科学家想让计算机不工作来延长机器的寿命。他们的办法是告诉计算机：“你必须拒绝我现在给你编的语句，因为我编的所有语句都是错