集合论中一系列悖论，特别是罗素悖论的出现，揭示了这样一个严酷的事实：集合论是不相容的，即前后是矛盾的。一向以精密严格著称的数学大厦居然出现了裂痕，而且是足以使整座大厦倾覆的裂痕，这怎能不令人震惊！悖论产生的根源何在？能否为数学找到一个可靠的逻辑基础？这些问题困绕着数学家和逻辑学家，由此也引发了一场关于数学基础问题的大论战。

    论战的一方是以罗素为代表的逻辑主义学派。逻辑主义认为，逻辑是全部数学的基础，以真假二值为基础的经典逻辑是绝对可靠的，数学的基本概念可以用逻辑的概念来定义，数学的命题则可经由逻辑的公理，运用逻辑的法则推导出。只要构造出合适的逻辑系统，就可以推出全部经典数学。把数学化归为逻辑，这是逻辑主义学派的基本纲领。避免悖论，维护集合论和已有的一切数学成果则是其基本出发点。

    为消除悖论，罗素提出其著名的类型论。类型论取得一定的成效，但由于过于繁琐和做作，所以，遭到许多人的批评。而且，由于在推出经典数学的过程中需借助于一些非逻辑的公理，因此，逻辑主义学派“把数学归结为逻辑”的纲领最终证明是失败的。

    论战的另一方是以希尔伯特为代表的形式主义学派。形式主义学派也坚信经典逻辑的有效性，捍卫一切已有的数学成果。为了证明经典数学的可靠性，希尔伯特提出了这样的方案：首先把经典数学形式化（即变成纯粹的形式符号），构成形式公理系统，然后用有穷的方法（即不采用实无穷的观点，不使用无穷集合）来证明这些公理系统的一致性（即无矛盾性），试图用逻辑的无矛盾性来为数学的真理性作辩护。在希尔伯特看来，如果一个概念具有矛盾的属性，这个概念在数学上就不存在。但是，如果可以证明一概念的属性不会经过有穷步骤的逻辑推理导致矛盾，那么，这个概念的数学存在性就证明了。

    这一方案首先遭到直觉主义学派的攻击。此学派的代表布劳威尔曾一针见血地指出：“不正确的理论即使还未碰到矛盾，但仍然是不正确的，正如一个罪恶的行为即使还未被法院发觉，但仍然是罪恶的。”而给予这一方案致命打击的还是哥德尔的不完备性定理。对于这一定理，霍夫施塔特曾用一故事加以通俗说明：

    （阿基里斯去访问乌龟，并在他家消磨时间）

    阿：上帝啊！你的收藏品可真多。你收集了这么多唱片，那你究竟喜欢什么样的唱片呢？

    龟：我认为巴赫的作品最棒。不过，我最感兴趣的却是一种特殊的音乐，我把它称为“粉碎唱机的音乐”。

    阿：这可真是一种古怪的音乐。难道你举着大锤，按照贝多芬《惠灵顿的胜利》的节奏把唱机一个个地砸掉？

    龟：可不是这么回事。懂得这种音乐的人并不多。这要从我的朋友蟹说起。有一天，他来我这儿作客，他刚刚买了一台新唱机，按照店主的说法，它能演奏任何声音，也就是说，这是一台完备的唱机。

    阿：你肯定不相信这一点的。

    龟：后来，我就去回访他，并且带去一张我自己创作的唱片。唱片的曲名就叫做：“我不能在唱机1上演奏。”我建议他和我一起来欣赏这张唱片。于是，他就打开唱机把这张唱片放进去了。不幸的是，刚奏出几个音符，唱机就开始抖动起来，越抖越厉害，最后只听“啪”的一声，唱机裂得粉碎，不用说；这张唱片也跟着报销了。

    阿：真倒霉！可是店主不是吹嘘这是一台完备的唱机吗？

    龟：确实如此。阿基里斯，难道你也会和蟹一样天真，相信店主告诉你的一切吗？

    阿：我想这是因为店主在吹牛的缘故。

    龟：其实，在回访蟹之前我就去过出售唱机的那家商店。我向他索取了设计说明书