阿基里斯是《荷马史诗》中的一个善跑健将，而乌龟是人们公认的跑得最慢的动物。起跑时让乌龟领先10米，发令之后，阿基里斯如离弦之箭向前冲去，而乌龟不论多急也只能慢吞吞地向前爬。大家肯定认为阿基里斯只需一眨眼的工夫就会追上并超过乌龟，但古希腊埃利亚学派的芝诺却指出，跑得最快的并不能跑过最慢的，阿基里斯永远追不上乌龟。这是著名的“芝诺悖论”之一。

    芝诺提出此悖论的目的是为了否认运动的真实性。据说，后来古希腊犬儒学派的第欧根尼曾用十分简单的方法——行动进行反驳。他一语不发地站起来，在房间里走来走去，然后，询问学生这种反驳如何。其中一个学生很高兴，对反驳感到非常满意。第欧根尼上去就踹了他一脚，然后把他狠狠地训斥了一顿。这是因为芝诺并不否认这种感性的运动，而是在理性上用理由进行证明运动并不真正存在，因此，对方只有用理由进行反驳才有效。

    芝诺的论证是这样的：

    假设阿基里斯和乌龟的速度都保持不变，而阿基里斯的速度是乌龟的10倍，那么，当阿基里斯跑到第10米——乌龟起跑的地方时，乌龟已爬到第11米的地方去了，乌龟领先1米。于是，阿基里斯又奋勇向前。当他跑到第11米的时候，乌龟却已爬到11.1米的地去了，它还领先0.1米。而当阿基里斯跑完这0.1米的路程时，乌龟又向前爬了0.01米，如此不停地跑下去。阿基里斯要跑完10米、0.1米、0.01米的距离，而乌龟则依次领先1米、0.1米、0.01米显然，这些距离有无限多个，跑完一个又一个，永远也跑不完，乌龟始终领先一段距离。因此，阿基里斯只能无限地接近乌龟，而永远追不上、更不能超过乌龟。

    由于在常识看来，阿基里斯能追上并超过乌龟，芝诺的上述论证在当时被认为最难以驳倒的，而所得结论却明显与直觉矛盾，因此，人们称之为“阿基里斯悖论”。

    这种论证正确吗？从哲学上讲，这显然是一种诡辩。表达运动的概念有两个，即间断性（或点截性）与不间断性（或连续性），是不间断性与间断性的统一。芝诺的错误在于，他不懂得运动本身是二者的统一，而形而上学地割裂两者，只承认间断性而不承认不间断性。他把运动假定为在空间可无限分割的点，而把物体（阿基里斯）局限于点上，把运动看作这些静止状态的点的总和。他不懂得运动的物体到达这个点的同时就要离开这一点，因此，运动的物体不可能达不到目的而停留在无限可分的点上，阿基里斯会很快赶上并超过乌龟。

    另外，芝诺没有看到，那些距离虽然有无限多个，可是，它们的和却是一个有限的、确定的距离。相应地，阿基里斯所用时间间隔虽然有无限多个，但它们的和也是确定的、有限的一段时间。

    按已知条件，设阿基里斯跑完第一段路程所需时间为1分钟，则第二、三段所需时间为1/100分钟、1/1000分钟，则阿基里斯追上乌龟所有需时间t为10/9分钟。（无计算过程图）

    芝诺悖论在当时并不受重视，但它在数学上的价值直到后世才为人们所发现，它说明“无穷大”、“无穷小”等概念逐渐出现在数学研究的项目中，这也是极限理论的萌芽。

    在近代，随着科学技术的发展及社会实践的需要，这些概念又重新引起人们的注意，微积分理论就是主要建立在无穷小量分析之上的。但无穷小量分析后来被证明是包含矛盾的。

    无穷小量分析的特点在于“无穷小量”的自由应用。例如，15世纪的尼古拉斯就曾用这种方法求出了圆的面积公式。他首先通过无穷分割得出了无穷小三角形OAB（无图）。由于AB为无穷小量，因此，无穷小三角形就既被看作一直边三角形，同时又被看成曲边三角形。