:1、n^2:1；同时，在研究同名正多边形覆盖平面问题时，他们发现，这种覆盖只有如下三种情况（无图），即六个正三角形、四个正四边形和三个正六边形。在这三个图形中，其边数比为3:4:6，而其正多边形的个数之比则恰好相反，为6:4:3。

    总之，一切事物都必须而且只能通过数得到解释，宇宙的本质和规律就是数的和谐，也就是说，宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。

    毕达哥拉斯学派首创西方沿用的“宇宙”（os），它的本义就是一个和谐而有规律的整体。公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的菲罗洛斯在谈到这个问题时说：“如果没有数和数的性质，世界上任何事物以及与其他事物的关系都不能为人们所清楚地了解你不仅可以在鬼神的事务上，而且可以在人间的一切行动、思想，以至一切行业和音乐中看到这种数的力量。”

    由于认为世界的本质就是数的严整性与和谐性，所以，毕达哥拉斯派非常重视数学的研究。他们基本建立了所有直线形的理论，包括三角形全等的定理，平行线理论、相似理论、三角形的内角和定理等等。三角形的内角和定理是说，一个三角形的内角和等于两直角。这是中学平面几何中非常重要的定理。他们还发现了有名的“毕达哥拉斯三数”，即可以排成直角三角形三条边的整数组，他们除了给出具体的特例外，还给出了一般法则（无图）。他们在数学上就是证明了关于直角三角形斜边与两直角边关系的定理，即著名的“毕达哥拉斯定理”（即“勾股定理”）：直角三角形斜边的平方等于两直角边平方之和。在当时，中国人、巴比伦人、埃及人和印度人早已了解到此定理的部分情况，但都没有给出一般的证明。因此，毕达哥拉斯和他的门徒在给出这条定理的证明后欣喜若狂，后来主张简朴节俭的师徒们也破例举行隆重、热烈的庆贺。据说，他们宰了100头牛举办了盛大的“百牛宴”，以至有人议论说，人们喜悦，牛却遭了殃。

    然而，正当兴致未尽之时，他们的狂热却被一个人狠狠地泼了一盆冷水，这就是入会不久的希帕索斯。希帕索斯是个勤奋好学的青年，他善于独立思考，不盲目附合。他学了勾股定理以后，在研究正方形的对角线时发现，这条对角线（亦即等腰直角三角形的斜边）既不能用整数表示，也不能用整数之比（分数）表示。因为，如果能用整数或整数之比表示，则必然带来不可克服的矛盾。证明如下：

    设等腰直角三角形的两直角边为a，斜边的长度为约去公因数的两整数m、n之比m/n。

    因为m、n约去了公因数，则二者之中至少有一奇数（都是偶数则有公因数2）。

    据毕达哥拉斯定理，a^2+a^2=(m/n)^2，即2a^2=(m/n)^2，而m^2=2a^2n^2。

    ∵2a^2n^2为偶数，则m^2为偶数，

    ∴m必为偶数〔m不可能为奇数，因为任一奇数2n＋1的平方（2n＋1）^2＝4（n^2＋n）＋1必是奇数〕。

    又∵m，n中至少有一奇数，

    ∴n必是奇数。

    m既是偶数，设m＝2p，于是，m^2＝4p^2＝2a^2n^2，

    ∴n^2=2p^2/a^2

    ∴n^2＝2(p/a)^2

    n^2为偶数，而n也必是偶数。

    综上可知，假如他们的信念是正确的，那么，同一数n既是奇数又是偶数。说它是奇数，它又是偶数，而说它是偶数，那么，它又是奇数。但是，一个数要么是奇数，要么是偶数，不能既是奇数又是偶数。因此，以上的循环必然是一矛盾，人们把这种循环称为“希帕索斯悖论”。

    在一推导中得出明显错误的结论，无非